空间向量解算偏移

2025-07-04 to 2025-07-08

寒假干（拖）到暑假，从代数暴力求解偏移到几何运算计算，再到这章的用空间向量解算，见证了我高中数学的学习路程：

初中知识==>二分法==>平面向量==>空间向量==>线性代数（超前学习）

思路

我的目的是解出偏移，那可以通过先测出四个不同位置的静止加速度，绘制在了空间中：

实际这四个点的位置向量 $\bm{p}_i$ 是偏移向量加真实向量 $\bm{t}_i$，即 $\bm{p}_i=\bm{o}+\bm{t}_i$，演示：

四个真实向量 $\bm{t}_i$ 实际是模长等于当地重力加速度的向量，所以四个向量共起点 $O$，模长相等，就意味着这四点共球，虽然要排除共面的情况，但传感器数据不是数学老师出题，不可能会有共面情况的，而且一般数据会要求取四个位置相差较大的四点。所以最终四个点都会在以偏移向量 $\bm{o}$ 终点为球心，当地重力加速度为半径的球上。

计算

已从传感器读取四组加速度 $\bm{p}_1,\ \bm{p}_2,\ \bm{p}_3,\ \bm{p}_4$，坐标表示为：

$$\bm{p}_i=(x_i\ ,y_i\ ,z_i)$$

球的球心为 $O$，半径 $r$，$O$ 的位置向量（偏移向量）为 $\bm{o}$，坐标表示：

$$O\ (O_x\ ,O_y\ ,O_z)\\ \bm{o}=(O_x\ ,O_y\ ,O_z)$$

根据球的方程可列式：

$$(x_i-O_x)^2+(y_i-O_y)^2+(z_i-O_z)^2=r^2\ \ \ (i \subseteq \{1\ ,2\ ,3\ ,4\})$$

因为

$$|\bm{p}_i|^2=|\bm{p}_j|^2=r^2$$

所以

$$(x_i-O_x)^2+(y_i-O_y)^2+(z_i-O_z)^2=(x_j-O_x)^2+(y_j-O_y)^2+(z_j-O_z)^2$$

化简：

$$2(x_j-x_i)O_x+2(y_j-y_i)O_y+2(z_j-z_i)O_z=(x_j^2-x_i^2)+(y_j^2-y_i^2)+(z_j^2-z_i^2)$$

$i=1,\ j=2,3,4$，得三个线性方程：

$$\left\{\begin{matrix} a_2O_x+b_2O_y+c_2O_z=d_2 \\ a_3O_x+b_3O_y+c_3O_z=d_3 \\ a_4O_x+b_4O_y+c_4O_z=d_4 \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{\begin{matrix} a_i=2(x_i-x_1)\\ b_i=2(y_i-y_1)\\ c_i=2(z_i-z_1)\\ d_i=(x_i^2-x_1^2)+(y_i^2-y_1^2)+(z_i^2+z_1^2) \end{matrix}\right.\\ \\$$

方程组表示为矩阵形式：

$$\bold{Ax}=\bold{b}\\ \bold{A}=\begin{bmatrix} a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3\\ a_4 & b_4 & c_4 \end{bmatrix},\ \bold{x}=\begin{bmatrix} O_x\\ O_y\\ O_z \end{bmatrix},\ \bold{b}=\begin{bmatrix} d_2\\ d_3\\ d_4 \end{bmatrix}$$

Not note

矩阵没学完，等我学完再来
2025-07-08 20:40